Dinamika Partikel

Dinamika partikel adalah cabang mekanika yang mempelajari gerak suatu partikel dengan meninjau penyebab geraknya. Gerak dari suatu partikel dipengaruhi oleh sifat-sifat dan susunan benda lain yang ada disekitarnya. Persoalan pengaruh lingkungan yang mempengaruhi gerak suatu partikel telah dipecahkan oleh Issac Newton (1642-1727) yang digambarkan dengan menggunakan hanya tiga hukum sederhana yang dinamakan dengan hukum Newton tentang gerak.

1. Hukum I Newton

Hukum pertama Newton menyatakan bahwa sebuah benda dalam keadaan diam atau bergerak dengan kecepatan konstan akan tetap diam atau bergerak dengan kecepatan konstan kecuali ada gaya eksternal yang berpengaruh pada benda tersebut.

Kecenderungan dari sifat benda seperti itu disebutkan bahwa benda mempunyai kelembaman, sehubungan dengan itu, hukum I Newton sering disebut hukum kelembaman/inersia.

Hukum pertama Newton tidak membuat perbedaan antara benda yang diam dengan benda yang bergerak dengan kecepatan konstan, pertanyaan apakah suatu benda sedang diam atau bergerak denan kecepatan konstan bergantung pada kerangka dimana benda tersebut diamati. Hukum pertama Newton berlaku pada kerangka acuan yang inersial, yaitu kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan konstan atau diam.

2. Hukum II Newton

Pada hakikatnya, hukum pertama dan hukum kedua Newton dianggap sebagai definisi gaya. Gaya adalah suatu pengaruh pada sebuah benda yang menyebabkan benda mengubah kecepatannya atau mengalami percepatan. Arah gaya sama dengan arah pecepatan yang ditimbulkan oleh gaya tersebut jika gaya itu adalah satu-satunya gaya yang bekerja pada benda yang bermassa. Massa adalah sifat intrinsik sebuah benda yang mengukur resistansinya terhadap percepatan. Jika gaya F dikerjakan pada benda bermassa m_1, dan menghasilkan percepatan a₁, maka

F = m₁a₁

Jika gaya yang sama dikerjakan pada benda kedua yang massanya m₂ dan menghasilkan percepatan a₂ maka

F = m₂a₂

Dengan menggabungkan kedua persamaan diatas kita dapatkan

F = m₁a₁= m₂a₂

Atau

Hubungan tersebut dapat digunakan untuk menentukan perbandingan massa-massa partikel yang diukur dari pengukuran yang terjadi pada m₁ dan m₂. Jika m₁ dipilih sebagai satuan massa maka massa partikel lain dapat ditentukan. Massa dari benda yang ditentukan dengan cara tersebut dinamakan dengan perbandingan massa Inersia

Dari definisi tentang gaya dan massa diatas, Newton menyatakan dalam hukum II Newton, yaitu “laju perubahan momentum benda terhadap waktu berbanding lurus dengan resultan gaya yang bekerja pada benda dan besarnya sama dengan gaya tersebut

Dari persamaan diatas dapat dilihat bahwa percepatan berbanding lurus dengan gaya yang bekerja dan berbanding terbalik dengan massa benda. Atau dapat dikatakan besar percepatan benda bila dikalikan dengan massanya akan sama dengan besar gaya yang bekerja pada benda tersebut.

Momentum sebuah partikel secara matematis didefinisikan sebagai hasil kali massa dengan kecepatan, sedangkan secara fisisnya momentum sebuah partikel dianggap sebagai ukuran kesulitan untuk mendiamkan suatu benda.

Hukum kedua Newton dalam kaitannya dengan momentum dapat dituliskan

3. Hukum III Newton

Hukum ketiga Newton kadang-kadang dinamakan hukum interaksi atau aksi reaksi. Hukum ini menggambarkan sifat penting dari gaya, yaitu bahwa gaya selalu terjadi bersama-sama.

Misalkan F₁₂ adalah gaya yang dikerjakan oleh partikel 1 pada partikel 2, dan F₂₁ adalah gaya oleh partikel 2 pada partikel 1.

Persamaan ini dikenal dengan Hukum kekekalan momentum, dengan penjelasan “jika resultan gaya eksternal yag bekerja pada sistem sama dengan nol, maka vektor momentum total sistem tetap konstan.

Momentum Sudut

Pada gerak rotasi momen inersia I merupakan analogi dari massa m dan kecepatan sudut merupakan analogi dari kecepatan linear v, maka rumus momentum sudut dapat ditulis sebagai

L = r x p

= r. p sin q

= r . m

= r. mwr

= mr²w

Momentum sudut merupakan besaran vektor. Arah momentum sudut mengikuti aturan tangan kanan, yaitu apabila keempat jari tangan kanan (selain jempol) dikepalkan mengikuti arah rotasi benda, maka jempol yang teracung menunjukkan arah momentum sudut.

Hubungan momentum sudut dengan momen gaya

Mengingat hubungan impuls dengan momentum Fdt = dp pada gerak linear, maka secara analogi, pada gerak rotasi diperoleh

Ndt=dL

Keterangan :

L = Momentum sudut (kg.m²/s)

I = Momen inersia (kg.m²)

N = Momen gaya (N.m)

Kekekalan Momentum Sudut

F = m.a

Jika SF = 0 maka dp = 0 atau p = konstanta hukum kekekalan momentum linear dari persamaan diatas dapat diturunkan kaitan momentum sudut dengan momen gaya yaitu:

Jika t = 0 maka L = konstan atau dengan kata lain momentum sudut sistem kekal. Dari persamaan diatas kita peroleh jika tidak ada momen gaya luar yang bekerja pada sistem , maka momentum sudut L konstan, atau dengan kata lain dapat disebut prinsip kekekalan momentum sudut. Secara matematis, kekekalan momentum sudut ditulis sebagai

L₁=L₂

GAYA FUNGSI POSISI

Usaha dan Energi

Konsep usaha yang dikerjakan oleh sebuah gaya, energi potensial dan energi kinetik sangat penting dalam masalah dinamika. Usaha yang dilakukan pada sebuah partikel dw oleh sebuah gaya hingga partikel tersebut berpindah sepanjang lintasan sejauh dr dinyatakan:

Persamaan diatas juga dapat dituliskan dalam bentuk Karena adalah energi kinetik partikel maka, diketahui bahwa besarnya usaha yang dikerjakan pada sebuah partikel sama dengan perubahan energi kinetik partikel. Usaha dw bernilai negatif, ketika momentum partikel yang bergerak berlawanan arah dengan gaya yang bekerja, sehingga usaha akan mengurangi energi kinetik partikel.

Usaha oleh gaya F yang mengalami pergeseran dari titik ke titik dinyatakan dalam integrasi :

Usaha adalah jumlah dari perubahan energi kinetik partikel

Fungsi dinamakan energi potensial. Integral dari usaha

Untuk gerak satu dimensi jika menimbulkan gaya hanya fungsi dari posisi kemudian jumlah dari energi kinetik dan energi potensial adalah konstanta dan usahanya sama dengan nol, ketika partikel tersebut bergerak mengelilingi suatu lintasan tertutup dan kembali ke posisi semula, contohnya gaya pegas dan gaya gravitasi. Sedangkan gaya desipatif adalah gaya yang usahanya tidak sama dengan nol dan bergantung pada lintasan, contohnya gaya gesek.

Contoh problem gaya konservatif

1.      Gaya pegas

2.       gaya konservatif

2. Gaya Gravitasi

Dulu, diasumsikan bahwa g adalah konstan. Kenyataannya, gaya gravitasi antara dua pertikel berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara keduanya (Hukum Gravitasi Newton).

dimana G adalah konstanta gravitasi Newton, M adalah massa bumi, dan r adalah jarak antara pusat bumi dengan benda. Dapat didefinisikan bahwa gaya sama dengan besarnya ketika suatu benda berada pada permukaan bumi, sehingga , adalah percepatan gravitasi pada permukaan bumi. R adalah jari-jari bumi (diasumsikan bola),. Dengan mengabaikan beberapa gaya seperti hambatan udara.

Misalkan sebuah benda dilempar ke atas dengan laju awal diatas permukaan bumi, dengan. Untuk penyelesaian, diperoleh hubungan,

GERAK KARENA GAYA SEBAGAI FUNGSI WAKTU ( Konsep Dari Impuls)

Jika gaya bekerja pada sebuah partikel , yang diketahu secara jelas sebagai sebuah fungsi waktu, maka persamaan gerak, untuk massa konstan adalah :

Persamaan tersebut bisa diintegralkan secara langsung untuk memperoleh

Integral F(t) dt, dinamakan impuls. Ini akan sama dengan perubahan momentum yang diberikan oleh suatu gaya F(t) yang bekerja pada suatu benda pada interval waktu tertentu. ( Ini bisa kita rubah dengan nilai awal dari t sampai t₀).

Kedudukan/posisi suatu partikel sebagai sebuah fungsi waktu bisa diperoleh dengan mengintegralkan dua kali F(t),

Gaya sebagai fungsi kecepatan

Sering terjadi bahwa gaya yang terjadi pada sebuah benda merupakan fungsi dari kecepatan benda. Contoh nyata, yaitu pada kasus hambatan viskositas yang bekerja pada benda yang brgerak dalam fluida. Jika gaya dapat dinyatakan hanya sebagai fungsi kecepatan saja: