Parabola dan Karakteristik

Pernah dibahas bahwa grafik dari suatu fungsi kuadrat adalah suatu kurva yang berbentuk parabola (Melukis Grafik Fungsi Kuadrat Bagian I, Bagian II, dan Bagian III). Parabola sebenarnya adalah anggota terakhir dari irisan kerucut, yang juga telah didiskusikan pada pembahasan sebelumnya, yang dapat diperoleh dengan mengiris suatu kerucut dengan suatu bidang. Jika bidang yang mengiris kerucut sejajar dengan garis pelukis dari kerucut tersebut, maka irisan antara bidang dan kerucut membentuk suatu parabola. Pada pembahasan ini, kita akan menentukan karakteristik dari parabola vertikal dan horizontal.
Parabola-parabola Vertikal
Pada umumnya, pembahasan mengenai parabola diawali dengan pengenalan parabola-parabola dengan suatu sumbu vertikal, yang didefinisikan oleh persamaan y = ax² + bx + c. Tidak seperti keluarga irisan kerucut lainnya, persamaan parabola tersebut merupakan suatu persamaan berderajat dua dalam x dan merupakan suatu fungsi. Karakteristik dari parabola-parabola yang demikian dapat dirangkum sebagai berikut.
Karakteristik Parabola Vertikal Untuk suatu persamaan berderajat dua yang memiliki bentuk y = ax² + bx + c memiliki grafik berupa parabola yang memiliki karakteristik-karakteristik sebagai berikut:

1. Terbuka ke atas jika a > 0 dan akan terbuka ke bawah jika a < 0.
2. Grafiknya memotong sumbu-y di titik (0, c) (substitusi x = 0).
3. Perpotongan grafik dan sumbu-x dapat ditentukan dengan substitusi y = 0 kemudian selesaikan persamaannya.
4. Sumbu simetri: x = –b/2a.
5. Titik puncak: (–b/2a, y)

Parabola-parabola Horizontal
Analogi dengan parabola-parabola vertikal, grafik dari parabola horizontal bisa terbuka ke kiri atau ke kanan. Dengan mengganti variabel x dan y pada persamaan umum fungsi kuadrat, kita akan mendapatkan parabola x = ay² + by + c, yang grafiknya simetris terhadap suatu sumbu y = k. Dari sini, kita mendapatkan bahwa sumbu simetrinya merupakan suatu garis horizontal dan kita dapat menentukan perpotongannya dengan sumbu-y (jika ada) dengan mensubstitusi x dengan bilangan nol kemudian menyelesaikan persamaannya dengan faktorisasi atau dengan menggunakan rumus kuadrat (rumus abc). Yang perlu diperhatikan, walaupun grafiknya sama-sama parabola, tetapi grafik tersebut bukan merupakan suatu grafik fungsi.
Karaktersitik Parabola Horizontal Untuk suatu persamaan berderajat dua yang berbentuk x = ay² + by + c memiliki grafik berupa parabola dengan karakteristik sebagai berikut:

1. Terbuka ke kanan jika a > 0, terbukan ke kiri jika a < 0.
2. Grafiknya memotong sumbu-x di titik (c, 0) (substitusi 0 ke dalam y).
3. Perpotongan grafik dan sumbu-y ditentukan dengan substitusi x = 0 kemudian selesaikan persamaannya.
4. Sumbu simetri: y = –b/2a.
5. Titik puncak: (x, –b/2a)

Contoh 1: Menggambar suatu Parabola Horizontal
Gambarlah grafik dari relasi yang memiliki persamaan x = y² + 3y – 4, kemudian nyatakan domain dan range dari relasi tersebut.
Pembahasan Karena persamaan tersebut memiliki suatu suku kuadrat tunggal dalam y, maka grafiknya berupa parabola horizontal. Karena a > 0 (a = 1), maka parabola tersebut terbuka ke kanan, dan memotong sumbu-x di titik (–4, 0). Selanjutnya kita tentukan titik potong dari parabola tersebut dengan sumbu-y dengan substitusi 0 ke dalam x.

Diperoleh y = –4 dan y = 1. Sehingga titik potong parabola dengan sumbu-y adalah (0, –4) dan (0, 1). Sumbu simetrinya adalah y = –3/(2 ∙ 1) = –1,5. Dengan substitusi y = –1,5 ke dalam persamaan diperoleh x = –6,25. Sehingga koordinat titik puncaknya adalah (–6,25, –1,5). Sehingga grafik dari persamaan x = y² + 3y – 4 adalah sebagai berikut.

Dari grafik di atas, kita dapat menentukan bahwa domain dari relasi tersebut adalah {x | x ≥ –6,25} dan rangenya adalah semua y anggota bilangan real.
Serupa dengan parabola vertikal, persamaan dari parabola horizontal dapat dituliskan sebagai suatu transformasi: x = a(y ± k)2 + h dengan melengkapkan kuadrat. Dalam kasus ini, pergeseran vertikalnya sejauh k satuan berlawanan dengan tanda, dan pergeseran horizontalnya sejauh h satuan searah dengan tandanya.
Contoh 2: Menggambar suatu Parabola Horizontal dengan Melengkapkan Kuadrat
Gambarlah grafik dari persamaan x = –2y² – 8y – 9 dengan melengkapkan kuadrat.
Pembahasan Dengan melihat persamaan tersebut, kita dapat menentukan bahwa grafik dari persamaan tersebut berupa parabola horizontal yang terbuka ke kiri dan memotong sumbu-x di titik (–9, 0). Dengan melengkapkan kuadrat kita peroleh,

Dari bentuk transformasi tersebut kita mendapatkan bahwa titik puncaknya adalah (–1, –2) dan sumbu simetrinya y = –2. Dari informasi-informasi tersebut kita dapat menyimpulkan bahwa grafik persamaan tersebut tidak berpotongan dengan sumbu-y, lebih jelasnya dengan substitusi x = 0 kita peroleh,

Persamaan terakhir di atas menunjukkan bahwa persamaan aslinya tidak memiliki akar. Dengan menggunakan sifat kesimetrian, titik (–9, –4) juga terletak pada parabola. Sehingga grafik dari persamaan x = –2y² – 8y – 9 dapat digambarkan sebagai berikut.

Dari pembahasan di atas kita telah mendiskusikan tentang karakteristik dari parabola vertikal maupun horizontal. Pada contoh 1, kita telah berlatih dalam menggambar grafik dari parabola horizontal dengan menerapkan karakteristiknya. Selain itu, kita juga telah menggunakan transformasi dalam menggambar suatu parabola jika diketahui persamaannya dengan melengkapkan kuadrat.